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Median Stats

The point-buy system included in 3.5 creates characters that are underpowered and bland compared to characters generated with the 4d6 method. This variant rule allows starting stats as long it would be at least as likely to get an absolutely better configuration as it would be to get absolutely worse configuration when rolling 4d6. That is, we accept starting stats below this generalized median.

Derivation

		Result of 4d6, drop lowest
Symbol		3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
P(X)	Relative Frequency (Probability * 1296)	1	4	10	21	38	62	91	122	148	167	172	160	131	94	54	21
F(X)	Probability <=	1/1296	5/1296	5/432	1/36	37/648	17/162	227/1296	349/1296	497/1296	83/162	209/324	83/108	1127/1296	407/432	425/432	1
G(X)	Probability >=	1	1295/1296	1291/1296	427/432	35/36	611/648	145/162	1069/1296	947/1296	799/1296	79/162	115/324	25/108	169/1296	25/432	7/432
F(X)/G(X)		1/1296	1/259	15/1291	12/427	37/630	68/611	227/1160	349/1069	497/947	664/799	209/158	249/115	1127/300	1221/169	17	432/7

For multiple independent, ordered experiments, the ratio of results absolutely better than an outcome to results absolutely worse (R) is the product of the probabilities of outcomes better or equivalent less the product of the probability of the specific outcomes divided by the product of the probabilities of outcomes worse or equivalent less the produce of the probability of the specific outcomes.

R(x0, x1, x2...) = (product(G(x0), G(x1), G(x2) ...) - product(P(x0), P(x1), P(x2) ...) / (product(F(x0), F(x1), F(x2) ...) - product(P(x0), P(x1), P(x2) ...)

In the specific case of R = 1, one part over for every part under, the products of the specific probabilities can be removed from the equation, and R(x0, x1, x2...) >= 1 will hold as long as:

product(F(x0)/G(x0), F(x1)/G(x1), F(x2)/G(x2), ...) <= 1

Therefore, one could determine exactly if a set of stats were below this median by multiplying the number from the fourth line of the table for each stat and checking to see if the product is less than or equal to 1.

Simplification

The logarithm function eats multiplications and turns them into additions, which are easier to do in one's head. The median constraint will be met if and only if:

ln(F(x0)/G(x0)) + ln(F(x1)/G(x1)) + ln(F(x2)/G(x2) + ... <= 0

Simplifications of Median Rule

		Result of 4d6, drop lowest
Symbol		3		4		5		6		7		8		9		10		11		12		13		14		15		16		17		18
F(X)/G(X)		1/1296		1/259		15/1291		12/427		37/630		68/611		227/1160		349/1069		497/947		664/799		209/158		249/115		1127/300		1221/169		17		432/7
ll(X)	ln(F(X)/G(X))	-7.1670		-5.5568		-4.4551		-3.5718		-2.8348		-2.1955		-1.6312		-1.1194		-0.6447		-0.1850		0.2797		0.7725		1.3235		1.9775		2.8332		4.1225
Approximation 1
points		-26		-20		-16		-13		-10		-8		-6		-4		-2		0		1		3		5		7		10		15
difference			6		4		3		3		2		2		2		2		2		1		2		2		2		3		5
Approximation 2
points		-33		-25		-20		-16		-13		-10		-7		-5		-3		-1		1		4		6		9		13		19
difference			8		5		4		3		3		3		2		2		2		2		3		2		3		4		6
Approximation 3
points		-43		-33		-27		-21		-17		-13		-10		-7		-4		-1		2		5		8		12		17		25
difference			10		6		6		4		4		3		3		3		3		3		3		3		3		5		8
Approximation 5
points		-76		-59		-47		-38		-30		-23		-17		-12		-7		-2		3		8		14		21		30		44
difference			17		12		9		8		7		6		5		5		5		5		5		6		7		9		14

Allowed Scores

The following are the greatest allowed scores, with the highest score assigned to Str, the second highest to Dex, and so on. The attributes need not be assigned in the same order. Total is the total of the attribute scores and total mods is the total of their attribute modifiers. Comparable is the probability that a regularly rolled set of attributes could be compared to the listed attributes and be determined to be absolutely better or worse. Exact is the probability of rolling this exact set of attributes using the 4d6 method, before re-rolls. The attribute sets with a strength of 13 would be re-rolls under the 4d6 method.

Median Stats Allowed Scores

Str	Dex	Con	Int	Wis	Cha	Total	Total Mods	Comparable	Exact
13	13	12	12	12	12	74	6	6.3e-02	4.9e-06
14	12	12	12	12	12	74	7	5.9e-02	4.4e-06
13	13	13	12	12	11	74	5	5.9e-02	4.4e-06
14	13	12	12	12	11	74	6	5.5e-02	4.0e-06
15	12	12	12	12	11	74	6	4.7e-02	3.2e-06
13	13	13	13	11	11	74	4	5.6e-02	4.0e-06
14	13	13	12	11	11	74	5	5.2e-02	3.7e-06
14	14	12	12	11	11	74	6	4.8e-02	3.3e-06
15	13	12	12	11	11	74	5	4.5e-02	2.9e-06
14	14	13	11	11	11	74	5	4.5e-02	3.0e-06
15	13	13	11	11	11	74	4	4.2e-02	2.7e-06
15	14	12	11	11	11	74	5	3.9e-02	2.4e-06
16	12	12	11	11	11	73	5	3.3e-02	1.8e-06
16	13	11	11	11	11	73	4	3.1e-02	1.6e-06
17	11	11	11	11	11	72	3	2.0e-02	8.1e-07
13	13	13	13	12	10	74	5	5.3e-02	3.8e-06
14	13	13	12	12	10	74	6	4.9e-02	3.4e-06
14	14	12	12	12	10	74	7	4.6e-02	3.1e-06
15	13	12	12	12	10	74	6	4.2e-02	2.7e-06
14	13	13	13	11	10	74	5	4.6e-02	3.1e-06
14	14	13	12	11	10	74	6	4.3e-02	2.8e-06
15	13	13	12	11	10	74	5	4.0e-02	2.5e-06
15	14	12	12	11	10	74	6	3.7e-02	2.2e-06
16	12	12	12	11	10	73	6	3.2e-02	1.7e-06
14	14	14	11	11	10	74	6	3.8e-02	2.3e-06
15	14	13	11	11	10	74	5	3.5e-02	2.0e-06
16	13	12	11	11	10	73	5	3.0e-02	1.5e-06
15	15	11	11	11	10	73	4	2.9e-02	1.4e-06
16	14	11	11	11	10	73	5	2.6e-02	1.3e-06
17	12	11	11	11	10	72	4	1.9e-02	7.5e-07
14	14	13	13	10	10	74	6	3.8e-02	2.4e-06
15	13	13	13	10	10	74	5	3.5e-02	2.1e-06
14	14	14	12	10	10	74	7	3.6e-02	2.1e-06
15	14	13	12	10	10	74	6	3.3e-02	1.9e-06
16	13	12	12	10	10	73	6	2.8e-02	1.4e-06
15	14	14	11	10	10	74	6	2.9e-02	1.6e-06
16	13	13	11	10	10	73	5	2.6e-02	1.3e-06
15	15	12	11	10	10	73	5	2.7e-02	1.3e-06
16	14	12	11	10	10	73	6	2.5e-02	1.2e-06
17	12	12	11	10	10	72	5	1.8e-02	7.0e-07
16	15	11	11	10	10	73	5	2.0e-02	8.5e-07
17	13	11	11	10	10	72	4	1.7e-02	6.4e-07
18	11	11	11	10	10	71	4	8.4e-03	2.1e-07
15	15	13	10	10	10	73	5	2.4e-02	1.1e-06
16	14	13	10	10	10	73	6	2.2e-02	9.9e-07
16	15	12	10	10	10	73	6	1.9e-02	7.9e-07
17	13	12	10	10	10	72	5	1.6e-02	5.9e-07
16	16	11	10	10	10	73	6	1.4e-02	5.0e-07
17	14	11	10	10	10	72	5	1.4e-02	4.9e-07
18	12	11	10	10	10	71	5	7.9e-03	2.0e-07
17	15	10	10	10	10	72	5	1.1e-02	3.3e-07
18	13	10	10	10	10	71	5	7.0e-03	1.7e-07
13	13	13	13	13	9	74	4	4.4e-02	2.9e-06
14	13	13	13	12	9	74	5	4.1e-02	2.6e-06
14	14	13	12	12	9	74	6	3.8e-02	2.4e-06
15	13	13	12	12	9	74	5	3.5e-02	2.1e-06
15	14	12	12	12	9	74	6	3.3e-02	1.9e-06
16	12	12	12	12	9	73	6	2.8e-02	1.4e-06
14	14	13	13	11	9	74	5	3.6e-02	2.2e-06
15	13	13	13	11	9	74	4	3.3e-02	1.9e-06
14	14	14	12	11	9	74	6	3.4e-02	1.9e-06
15	14	13	12	11	9	74	5	3.1e-02	1.7e-06
16	13	12	12	11	9	73	5	2.7e-02	1.3e-06
15	14	14	11	11	9	74	5	2.7e-02	1.4e-06
16	13	13	11	11	9	73	4	2.5e-02	1.2e-06
15	15	12	11	11	9	73	4	2.6e-02	1.2e-06
16	14	12	11	11	9	73	5	2.3e-02	1.1e-06
17	12	12	11	11	9	72	4	1.7e-02	6.3e-07
16	15	11	11	11	9	73	4	1.9e-02	7.7e-07
17	13	11	11	11	9	72	3	1.6e-02	5.8e-07
18	11	11	11	11	9	71	3	7.9e-03	1.9e-07
14	14	14	13	10	9	74	6	3.0e-02	1.7e-06
15	14	13	13	10	9	74	5	2.8e-02	1.5e-06
15	14	14	12	10	9	74	6	2.6e-02	1.3e-06
15	15	13	12	10	9	74	5	2.4e-02	1.2e-06
16	13	13	12	10	9	73	5	2.4e-02	1.1e-06
16	14	12	12	10	9	73	6	2.2e-02	9.8e-07
17	13	12	12	10	9	73	5	1.6e-02	6.1e-07
16	14	13	11	10	9	73	5	2.1e-02	9.0e-07
17	13	13	11	10	9	73	4	1.5e-02	5.5e-07
16	15	12	11	10	9	73	5	1.8e-02	7.1e-07
16	16	11	11	10	9	73	5	1.3e-02	4.5e-07
17	14	11	11	10	9	72	4	1.3e-02	4.4e-07
18	12	11	11	10	9	71	4	7.5e-03	1.8e-07
15	15	14	10	10	9	73	5	1.9e-02	7.8e-07
16	14	14	10	10	9	73	6	1.7e-02	6.9e-07
16	15	13	10	10	9	73	5	1.6e-02	6.1e-07
16	16	12	10	10	9	73	6	1.2e-02	4.2e-07
17	14	12	10	10	9	72	5	1.3e-02	4.1e-07
18	12	12	10	10	9	71	5	7.1e-03	1.7e-07
17	15	11	10	10	9	72	4	1.0e-02	3.0e-07
18	13	11	10	10	9	71	4	6.7e-03	1.5e-07
17	16	10	10	10	9	72	5	7.0e-03	1.8e-07
18	14	10	10	10	9	71	5	5.5e-03	1.2e-07
14	14	14	14	9	9	74	6	2.3e-02	1.1e-06
15	14	14	13	9	9	74	5	2.2e-02	1.0e-06
15	15	13	13	9	9	74	4	2.0e-02	8.9e-07
16	13	13	13	9	9	73	4	2.0e-02	8.4e-07
15	15	14	12	9	9	74	5	1.9e-02	8.0e-07
16	14	13	12	9	9	73	5	1.8e-02	7.5e-07
17	13	13	12	9	9	73	4	1.3e-02	4.7e-07
16	15	12	12	9	9	73	5	1.6e-02	6.0e-07
17	14	12	12	9	9	73	5	1.2e-02	4.2e-07
16	14	14	11	9	9	73	5	1.6e-02	6.2e-07
16	15	13	11	9	9	73	4	1.5e-02	5.5e-07
17	14	13	11	9	9	73	4	1.2e-02	3.8e-07
16	16	12	11	9	9	73	5	1.1e-02	3.8e-07
18	12	12	11	9	9	71	4	6.7e-03	1.5e-07
17	15	11	11	9	9	72	3	9.6e-03	2.7e-07
18	13	11	11	9	9	71	3	6.3e-03	1.4e-07
15	15	15	10	9	9	73	4	1.4e-02	4.8e-07
16	15	14	10	9	9	73	5	1.2e-02	4.2e-07
17	14	14	10	9	9	73	5	9.6e-03	2.9e-07
16	16	13	10	9	9	73	5	1.0e-02	3.2e-07
17	15	12	10	9	9	72	4	9.1e-03	2.5e-07
18	13	12	10	9	9	71	4	5.9e-03	1.3e-07
17	16	11	10	9	9	72	4	6.6e-03	1.6e-07
18	14	11	10	9	9	71	4	5.2e-03	1.1e-07
18	15	10	10	9	9	71	4	4.0e-03	7.2e-08
16	15	15	9	9	9	73	4	8.8e-03	2.6e-07
16	16	14	9	9	9	73	5	8.0e-03	2.2e-07
17	15	13	9	9	9	72	3	7.6e-03	1.9e-07
18	13	13	9	9	9	71	3	5.0e-03	9.9e-08
17	16	12	9	9	9	72	4	5.9e-03	1.3e-07
18	14	12	9	9	9	71	4	4.7e-03	8.9e-08
18	15	11	9	9	9	71	3	3.8e-03	6.5e-08
17	17	10	9	9	9	71	3	3.4e-03	5.7e-08
18	16	9	9	9	9	70	3	2.2e-03	2.9e-08
14	13	13	13	13	8	74	5	3.3e-02	1.8e-06
14	14	13	13	12	8	74	6	3.1e-02	1.7e-06
15	13	13	13	12	8	74	5	2.8e-02	1.5e-06
14	14	14	12	12	8	74	7	2.9e-02	1.5e-06
15	14	13	12	12	8	74	6	2.6e-02	1.3e-06
16	13	13	12	12	8	74	6	2.2e-02	1.0e-06
15	15	12	12	12	8	74	6	2.3e-02	1.0e-06
16	14	12	12	12	8	74	7	2.0e-02	9.2e-07
17	12	12	12	12	8	73	6	1.5e-02	5.5e-07
14	14	14	13	11	8	74	6	2.7e-02	1.4e-06
15	14	13	13	11	8	74	5	2.5e-02	1.2e-06
16	13	13	13	11	8	74	5	2.1e-02	9.3e-07
15	14	14	12	11	8	74	6	2.3e-02	1.1e-06
15	15	13	12	11	8	74	5	2.1e-02	9.5e-07
17	13	12	12	11	8	73	5	1.4e-02	5.0e-07
15	15	14	11	11	8	74	5	1.9e-02	7.9e-07
16	14	13	11	11	8	73	5	1.9e-02	7.4e-07
17	13	13	11	11	8	73	4	1.3e-02	4.6e-07
16	15	12	11	11	8	73	5	1.6e-02	5.9e-07
17	14	12	11	11	8	73	5	1.2e-02	4.1e-07
16	16	11	11	11	8	73	5	1.2e-02	3.7e-07
18	12	11	11	11	8	71	4	6.7e-03	1.5e-07
14	14	14	14	10	8	74	7	2.2e-02	1.0e-06
15	14	14	13	10	8	74	6	2.0e-02	9.2e-07
15	15	13	13	10	8	74	5	1.9e-02	8.1e-07
16	14	13	13	10	8	74	6	1.7e-02	7.1e-07
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